大学入試に必ずと言っていいほど出題される微分と積分ですが、多くの生徒が苦手意識を持っています。今回は微分を中心に分かりやすく説明していきたいと思います。
「微分する」とはどういうこと？
微分を学ぶ際にまず出てくるのは、微分係数ｆ’(ａ)の定義式です。
ん～なんだかわけが分かりませんよね。この式を初めて見て、なるほどねって理解できる人はなかなかいないと思います。
これは難しく書いていますが、分母はｘの増加量を、分子はｆ(ｘ)の増加量（つまりｙの増加量）を表しており、つまり分数部分は中学校で学習した変化の割合（平均変化率）を示しているだけです。
２次関数を例に図示すると、次のようになります。
中学校で１次関数を学習した時もそうでしたが、関数は傾きが大事なんです。しかし、上図を見ても分かるように、赤線（斜辺）の傾きは曲線ｆ(ｘ)の傾きを表しているとは言えませんよね。なぜならば、曲線においては、どの点をとるかで傾きが変化するため、ｘの増加量ｈに幅がある限りその曲線の傾きを表すことができないからです。
そこで、ｘの増加量を限りなく０に近づけて（h→0）、点（ａ，ｆ(ａ)）における傾き＝接線の傾きを求めようというのが上の式で、これがｘ＝ａで微分する（微分係数を求める）ということになります。
上のグラフで、ａ＝４を例に計算してみると、
よって、ｘ＝４における接線の傾きは、８ということが分かります。導関数の公式を用いても、ｆ’(ｘ)＝２ｘよりｆ’(４)＝８となり、確かですね。
傾きにおいては数字の大小よりも、傾きが正（右上がり）なのか、負（右下がり）なのかが重要になってきます。特に傾きが０の時を極値と呼び、上のグラフの例でみるとｘ＝０の時、傾きが０となり極値（この場合は極小値）をとります。
この傾きの正負および極値を調べることで、未知の複雑な関数に遭遇しても、グラフの概形図が書けるようになります。
グラフが書けると、なんなのさ？
ボール投げ（物理でいうところの斜方投射）を例に見てみましょう。
速さｖ0、角度θでボールを投げた時に、ｔ秒後のボールの高さｙは、
であるということが分かっています。ただし、空気抵抗は考慮しません。
この式を見てもなんかピンときませんが、ボールを斜めに投げると放物線を描いて地面に落ちることは（経験上）想像できると思います。
では、速さ14m/秒（時速50kmくらい）、角度45°でボールを投げた場合、放物線の頂点に到達するのは何秒後で、その高さ（最高点）は何ｍでしょうか。
ｙ＝ｆ(ｔ)とすると、上で述べたように放物線の頂点（極値）はｆ’(ｔ)＝０であるから
よって、投げてから１.0秒後に最高点に達し、その高さは５.0ｍだということが分かりました。これをグラフ化すると次のようになります。
グラフ化すると、ボールを投げて約１秒後に５mほどの高さまで上がり、その後下降に転じて、投げてから約２秒後に地面に落ちる様子がよく分かります。
このように、よく分からない数式でもグラフにすることで、物事の動きやピークが視覚的に理解できるといったケースはたくさんあります。
今回は高さ方向ｙを例にあげましたが、これを水平方向ｘに適用すると、角度をどのくらいで投げると一番遠くに投げられるか、100m投げるには初速何ｍ必要か、といったことも求めることができます。
微分・積分は不可欠！
ところで、微分は英語で「differential（ディファレンシャル）」といい、ｄｘやｄｙの頭文字ですね。積分は「integral（インテグラル）」ですが、「integral」には他に「不可欠な」や「なくてはならない」といった意味があります。
さまざまな物理の法則は微分・積分から成り立っています。上の斜方投射の公式も、実は微分方程式で導くことができるんです。まさに現代の科学において、微分・積分は不可欠な存在だといえます。
さいごに
微分は何に役立つか分からずに、苦手意識を持つ生徒も多いと思います。
“公式を丸暗記すること”ではなく、忘れても導けるように”本質を理解すること“が重要です。
ほんのちょっとした捉え方の違いで、数学力はグッと身につきます。
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